A forma correta de escrita da palavra é infelizmente, com z. A palavra infelismente, com s, está errada. Devemos utilizar o advérbio infelizmente sempre que quisermos referir alguma coisa que foi feita com infelicidade ou algo que ocorreu de forma infeliz.
Exemplos de infelizmente:
"Infelizmente estamos todos sujeitos às
vicissitudes da vida."
"O presidente, infelizmente, não cumpriu suas
promessas eleitorais."
"Infelizmente, minha filha é um poço de
insegurança."
"Você tentou mas, infelizmente, não deu certo."
Infelizmente é sinônimo de lamentavelmente,
desgraçadamente, miseravelmente e tristemente.